Tu arrendador te ha avisado con el plazo que marca la LAU: 1 mes.

Un mes es el plazo del que dispones...

Normalmente la penalización por no abandonar el piso puntualmente se establece en el propio contrato. Mira el tuyo. Suele ser algo así:

En el caso de que una vez finalizado el contrato o, en su caso, resuelto por resolución judicial, si la parte arrendataria continuara sin desalojar la vivienda, deberá satisfacer a la propiedad, en concepto de indemnización, una cantidad igual xxx, por cada día que transcurra, hasta obtener el propietario la libre posesión. Sin que dicho pago por indemnización suponga en ningún caso la continuación del contrato de arrendamiento o el nacimiento de uno nuevo.