Buenos días,
La presentación de la fianza en el órgano correspondiente en función de la comunidad autónoma es obligatorio por ley, puesto que así lo indica la LAU94.
Por los plazos que habla y la subida de renta que comenta, parece que estamos ante una novación extintiva del contrato, es decir, un nuevo contrato..Por lo tanto, al aumentar el importe de la renta debe aumentar el importe de la fianza puesto que esta debe ser el equivalente a una mensualidad. Respecto al segundo mes que comenta, se trata de una garantía extraordinaria- mal llamada fianza-, ésta no se tiene que entregar en ningún sitio y es perfectamente legal si así se acuerda en el contrato.
En conclusión, si estamos ante un nuevo contrato, la solicitud de la diferencia de fianza es necesaria y por otro lado, la ampliación de la garantía extraordinaria hasta completar el equivalente a un mes es negociable.
Un saludo