Entonces yo diría que el arrendador. Pero que yo lo diga no quiere decir que él vaya a hacerme caso ...

Quién la paga el propietario o el inquilino, en mi contrato no pone nada al respecto.

Respecto a quién la paga, deberás mirar qué dice vuestro contrato.

La LAU dice que el arrendador está obligado realizar todas las reparaciones que sean necesarias para conservar la vivienda en las condiciones de habitabilidad para servir al uso convenido.

Y una caldera es necesaria par la habitabilidad de la vivienda.

Es obligatorio en toda España. Lo puedes ver en la página de Gas Natural o en el RD 1027/2007, de 20 de julio de 2007:
REAL DECRETO 1027/2007, de 20 de julio, por
el que se aprueba el Reglamento de Instalaciones
Térmicas en los Edificios.
....
Reglamento de Instalaciones Térmicas en los Edificios
...
Artículo 28. Certificado de mantenimiento.
1. anualmente el mantenedor autorizado titular del carné profesional y el director de mantenimiento, cuando la participación de este último sea preceptiva, suscribirán el certificado de mantenimiento, que será enviado, si así se determina, al órgano competente de la Comunidad Autónoma, quedando una copia del mismo en posesión del titular de la instalación.
la validez de mantenimiento expedido será como máximo de un año.

2. El certificado de mantenimiento, según modelo establecido por el órgano competente de la Comunidad Autónoma, tendrá como mínimo el contenido siguiente:

a) identificación de la instalación;

b) identificación de la empresa mantenedora, mantenedor autorizado responsable de la instalación y del director de mantenimiento, cuando la participación de este último sea preceptiva;

c) los resultados de las operaciones realizadas de acuerdo con la IT 3;

d) declaración expresa de que la instalación ha sido mantenida de acuerdo con el "Manual de Uso y Mantenimiento" y que cumple con los requisitos exigidos en la IT 3.

Pero no se me ha respondido a la pregunta, por ley es decir obligatorio, quién debe pagarla el propietario ó el inquilino?

Y es obligatorio hacerla anualmente por ley en Cantabria?

Yo creo que sea o no sea obligatorio, es algo absolutamente necesario , debido a los trágicas consecuencias que podría acarrear el no hacerla. Aparte de las averías, hay gente que muere por una mala combustión de la caldera...

Respecto a quién debería pagarlo, mira, yo también hice esa pregunta:
http://www.enalquiler.com/comunidad-alquiler/legislacion-alquiler/sobre-quien-paga-mantenimiento-caldera_6149.html