En este caso, al inquilino.

Por contrato, se suele exigir la devolución en el mismo estado en el que se entregó la vivienda, excepto por el deterioro normal debido al paso del tiempo.

Si se te entrega sin muebles, pones los tuyos, y los vuelves a sacar cuando te vas. Si se entrega con ellos, igualmente devuelves lo que recibiste, salvo que casero e inquilino acuerden expresamente lo contrario.

Lo que puedes hacer es planteárselo al casero, por si le interesase llevarse el colchón a su casa o a otro sitio. Pero sería voluntario por su parte, no tendría obligación de hacerse cargo. Si no fuese posible este acuerdo, sería tu responsabilidad hacer los arreglos necesarios para mantener el colchón en buen estado para el día en que toque devolverlo.

Y a quién correspondería el coste del guardamuebles? Pregunto desde el punto de vista legal.

Puedes llevar el colchón a un guardamuebles y reponerlo cuando te vayas del piso.

De acuerdo con Piscis

Puedes llevar el colchón a un guardamuebles y reponerlo cuando te vayas del piso.