No se podría. No hay base para ello. Si uno quiere dar validez frente a terceros, la fe pública del mismo debe ser notarial no judicial.  Fuera de este caso, no hay motivo alguno para ir a un juzgado en relación a la firma de un contrato.

Si las dos partes están de acuerdo en firmar el contrato, para que vas a tener necesidad de firmarlo ante un juez?

Gracias Pedro. O sea que no  es una situación normal.  Es solo para exigir a la otra parte la firma de un contrato escrito.  Si las dos partes están de acuerdo en formalizar un contrato por escrito, no se puede ir a firmar al juez

Me parece que la explicación del compañero Gastalver merece una ampliación aclaratoria, efectivamente en un contrato verbal de arrendamiento cualquiera de las partes puede compeler a la otra a formalizarlo por escrito, y si no se aviene a esa formalización, tendrá que acudir al Juzgado, presentando un proyecto de contrato, la parte contraria presentará el suyo y la sentencia resolverá esa controversia, en ese sentido se puede decir que el contrato ha sido firmado ante el juez. Como intuye Amparo puede salir "más caro el collar que el perro". Pedro Hernández Olmo, abogado

Anda!! 

Lo de firmar un contrato de arrendamiento ante un juez no lo había oído jamás.  
Gracias Miguel por la información.
 Cómo y quién  paga ese acto??

El contrato existe desde que ambas partes están de acuerdo en qué inmueble se arrienda y por qué renta. El acuerdo puede ser verbal, no tiene por qué ser por escrito, y el contrato sería perfectamente válido.  Ahora bien, al menos en España, ambas partes tienen derecho a exigirse la formalización del contrato por escrito. Así lo establece el art.37 de la vigente Ley de Arrendamientos Urbanos: Artículo 37. Formalización del arrendamiento.
Las partes podrán compelerse recíprocamente a la formalización por escrito del contrato de arrendamiento. En este caso, se hará constar la identidad de los contratantes, la identificación de la finca arrendada, la duración pactada, la renta inicial del contrato y las demás cláusulas que las partes hubieran libremente acordado. Así pues, aunque no es muy habitual el caso, sí se puede obligar a formalizar un contrato de arrendamiento por escrito ante un juez.
Miguel Gastalver Trujillo Abogado especialista en arrendamientos urbanos