Yo, si le importa tanto, pediría que suprimieran la prohibición de mascota, conforme a lo acordado verbalmente, y, el resto de cláusulas, como le ha dicho Amparo, olvídese de ellas, se tienen por no puestas, eso si, cambie el bombín de la cerradura.

Amparo, yo en un caso como éste no sabría qué decir. A mí me devolvieron una vez la señal entera por mucho menos, en concreto por llevarse muebles (el piso se incluía amueblado) y por retrasarse en la fecha de entrega. Decidí que si así de mal empezaba la cosa, a saber cómo podía terminar. La agencia no puso pegas.
Si el contrato ya estuviese firmado, la respuesta estaría clara. Las cláusulas ilegales no anulan el contrato en sí, es como sacar la goma de borrar y borrarlas del contrato. Pero, desde mi desconocimiento, no veo por qué un inquilino tendría por qué perder dinero por negarse a firmar un contrato con ilegalidades. Quizá otro prefiera hacerse el tonto a la hora de firmar y luego darle calabazas al propietario, pero yo prefiero tener cuantos menos problemas mejor.

Odiseo, en hacer el documento que le he mencionado... se tarda 3 minutos

Sí, lo admito. Las prisas son malas consejeras... Pero tal y como están las cosas actualmente (hay muy poca oferta de alquiler pero mucha demanda), creí que era una buena oportunidad y confié a ciegas.

El error fue entregar dinero sin un documento que recogiese unos minimos... Como es el tema mascotas, quién paga la comunidad, duración del arriendo e importe de las mensualidades.

Gracias por la respuesta. El problema es que expuesto lo anterior, yo ya no confío en las intenciones del dueño de la vivienda ni en la agencia que ha redactado el contrato. Por otra parte, creo importante decir que poseo mascota y durante la visita el agente me dijo que no había problemas. Pero en el contrato han añadido una cláusula donde dicen "manifiesta en este acto que no es propietario de
un animal de compañía, ni va a convivir con ninguna mascota en la vivienda
durante el tiempo que dure dicho contrato."

Es muy probable que no le devuelvan la fianza si no firma ahora.   
Pero  puede usted firmar, cambiar el bombín el primer día, y olvidarse de
ellas puesto que como usted muy bien cree, son nulas por abusivas.