Buenos días
El incumplimiento por cualquiera de las partes de las obligaciones estipuladas en el contrato da derecho a exigir el cumplimiento de la misma o bien promover la resolución (con sus correspondientes daños y perjuicios).
Hay que tener en cuenta que se trataría de un juicio ordinario, con lo que ello conlleva. Igual la mejor solución es hablar con el arrendador y llegar a un acuerdo por el que usted se responsabilice de todo desperfecto que pudiera causar el animal, o acordar la resolución del contrato de la manera más amistosa posible.
Saludos!

Igualmente, el contrato figuran los nombres mio, de mi pareja y el de mi abuela como aval, pero falta la firma de mi pareja, el contrato sigue siendo válido? O para que sea válido hace falta la firma de mi pareja? Y en tal caso podría rescindir el contrato 

Si te dan un contrato para firmar, lo sensato y prudente es leerlo antes de ponerla firma, después de ponerla tienes que cumplir el contrato, nadie tenia que avisarte de si podías tener mascotas,la renta estipulada o la duración del arrendamiento, para eso se hace un contrato escrito. Ahora el arrendador puede pedir el desahucio si se entera que estas incumpliendo lo pactado.