María.

Tu avatar es de casera, así que entiendo que eres propietaria del piso en dónde vives.

¿Tendría que pagarme un alquiler? ¿Debería pagarme un alquiler?

No. No es necesario. Si es tu amigo y quieres ayudarle, no tienes porqué cobrarle un alquiler.

¿Bastaría un acuerdo verbal...?

Si.
¿Sería ilegal el acuerdo verbal?

No

Anexo.-

Se podría hacer nuevo contrato o un anexo en el mismo haciendo constar que a partir de tal fecha son dos los titulares del contrato.

Saludos,

Puede estar el tiempo que quieras pero, si cobras un alquiler, pasa a ser un subarriendo inconsentido. Si hay justificantes del subarriendo os puede demandar a los dos y dar por resuelto el contrato.
Lee Art. 8.-
"Artículo 8. Cesión del contrato y subarriendo
1. El contrato no se podrá ceder por el arrendatario sin el consentimiento escrito del arrendador. En caso de cesión, el cesionario se subrogará en la posición del cedente frente al arrendador.
2. La vivienda arrendada sólo se podrá subarrendar de forma parcial y previo consentimiento escrito del arrendador. El subarriendo se regirá por lo dispuesto en el presente Título para el arrendamiento cuando la parte de la finca subarrendada se destine por el subarrendatario a la finalidad indicada en el artículo 2.1. De no darse esta condición, se regirá por lo pactado entre las partes.

El derecho del subarrendatario se extinguirá, en todo caso, cuando lo haga el del arrendatario que subarrendó.

El precio del subarriendo no podrá exceder, en ningún caso, del que corresponderá al arrendamiento"