El documento firmado dice "en concepto del pago de la fianza", es decir, que no era una señal a cuenta de un futuro contrato, sino de un contrato con plena validez. Hay que recordar que los contratos verbales son tan válidos como los escritos, con la única dificultad de tener que probar su existencia en el caso de que una parte lo niegue.

En este caso nadie puede negarlo al haber sido entregada la fianza obligatoria de todo contrato de arrendamiento. Por tanto, la solución que propone el arrendador solo podrá ser discutida si la vivienda ha sido alquilada a una tercera persona antes de sufrir pérdidas por mantenerla a disposición del que ya se ha comprometido. En otras palabras, si la vivienda sigue vacía, el arrendador podría exigir el pago de las rentas mensuales hasta el cumplimiento del contrato.

Lamento que la respuesta no te sea favorable, aunque queda alguna posibilidad de negociación basada en el supuesto de que el propietario haya arrendado la vivienda a otra persona sin haber resuelto previamente el contrato anterior.

El arrendamiento de acuerdo con lo escrito estaba pactado verbalmente por tanto ha habido desistimiento del inquilino y como tal se aplica lo que se describe en http://pedrohernandezabogado.blogspot.com/2008/12/desistimiento-del-inquilino.html

Dicho enlace que has añadido no corresponde a mi pregunta, porque allí habla de la fianza en momento de la firma del contrato y sobre su devolución luego.

Mi pregunta era sobre el papel que dio la casera, sin poner la fecha además, qué tiene derecho de devolver dinero o tenemos que recompensarla algo por molestias?

En ley de arrendamientos urbanos no encuentro nada de eso.

De acuerdo con la redacción del recibo hay que considerar que el arrendamiento estaba pactado verbalmente, por tanto al desistir el inquilino debe pagar una indemnización, si no se ponen de acuerdo en el importe deberá decidirlo el Juez, a su reclamación.
Lea: http://pedrohernandezabogado.blogspot.com/2008/12/desistimiento-del-inquilino.html.