Si te refieres a inscribirlo en el Registro de la Propiedad, al ser un trámite voluntario, lo paga el que quiera realizarlo. Los contratos suelen llevar esta cláusula:

"Cualquiera de las partes podrá solicitar a su costa la inscripción del arrendamiento en el Registro de la Propiedad, siendo los gastos que ello conlleve de cuenta de la parte que lo solicite"

Verifica el tuyo no sea que diga que lo pagas tú.

Si te refieres al trámite del ingreso de la fianza en el organismo competente de tu Comunidad Autónoma, eso es gratis.