Y además, si se da el caso puntual de quererlo inscribir en el Registro de la Propiedad, tendrá que hacerse el contrato ante notario.

Por ello, lo normal es que se haga cargo de dicho importe el que tenga el interés de inscribirlo en el Registro.

Es posible que a lo que se refiera Aida sea a inscribir el contrato de alquiler en el Registro de la Propiedad. En ese caso para realizar el trámite, hasta donde yo sé, tienen que acudir tanto el arrendador como el arrendatario. Y no está establecido quién tiene que pagarlo, tendrían que ponerse de acuerdo.

No es un trámite obligatorio, pero si se inscribe el alquiler y el propietario vende el piso, el nuevo comprador tendría la obligación de continuar con el contrato de alquiler.

Quien quiere y donde quiere registrar el contrato de arrendamiento??
Tu respuesta valdrá para contestar a tu pregunta, es decir si eres tu el interesado en registrarla tu, si es el arrendador el interesado, él.
El IBI lo paga el arrendador a no ser que se especifique de algún otro modo en el contrato de arrendamiento.

Los contratos de arrendamiento de vivienda, salvo excepciones puntuales, no se registran en ninguna parte, pero el arrendador ha de depositar la fianza en el organismo pertinente y el arrendatario satisfacer el impuesto de transmisiones patrimoniales. El IBI lo paga el arrendador y solamente el arrendatario, siempre que así esté determinado en el contrato. Si tienes dudas de posibles embargos de la vivienda, acude al registro de la propiedad y te informas, pero mientras no se adjudique  la misma a otra persona, tu relación con el actual propietario ha de seguir siendo la acordada en el contrato y regulada por la LAU.