Buenos días, Vivo en una casa de alquiler desde hace siete años, el
contrato que tengo lo firmé por cinco años pero después de ese tiempo no
 he vuelto a firmar ningún otro.

Por eso no se preocupe porque los contratos de arrendamiento se autoprorrogan hasta que lo diga un juez o hasta que se firme el documento de fin de contrato. Su contratoa de momento tiene una duración obligatoria para el arrendador de un año más (hasta cumplir 8) y después, si no se firma nada, las prórrogas serán del mismo período por el que se pactara la renta en el contrato original. Normalmente mensual o anual.

Al casero le hago los pagos a través de  transferencia bancaria o directamente en el cajero y él me dice que le debo 3000 euros, cosa que no es verdad, sé que le debo tres meses y eso  son 1500 euros. Cómo podemos demostrar el importe de la deuda si no me
firmó ni un sólo recibo desde que estoy en esa casa.
Cuando se paga por transferencia bancaria o por el cajero automático, el casero no tiene que dar recibo. Son válidos los justificantes del banco.

Por otro lado, esta  mañana sé que me llegó a mi casa una notificación del juzgado pero yo no estoy allí. Si no me localizan tengo que comparecer?

Si tiene una notificación del juzgado... yo le recomiendo recogerla para ver a qué se enfrenta. Tenga en cuenta que para ser desahuciado da lo mismo deber 3000 euros, que 1.500 que 500, o que 50.... 

Actúe rápido porque el tiempo corre en su contra.