Nerea voy a contestar a sus preguntas:
¿Puede ser que exista alguna forma de renovación del contrato aunque no sea escrita, al seguir la inquilina en el piso?
Los arrendamientos de vivienda, mientras ninguna de las partes decida y manifieste a la otra darlo por terminado, se prorrogan, primero prórroga de la LAU de tres años+ uno si el contrato es posterior a 6/6/2013 y cinco años+ tres si es anterior; luego entra en tácita reconducción, prórroga del Código Civil, mes tras mes, si el alquiler se pactó mensual y año tras año, si se pactó anual.
¿Existe alguna indemnización para la inquilina si debe abandonar el piso?
Si la inquilina debe marcharse por expiración del plazo que se contempla en la pregunta anterior o por necesidad del casero, debidamente notificada, no tendrá derecho a indemnización; si se marcha por su voluntad ante una conveniencia de su casero, podrán llegar a un acuerdo compensatorio.
¿Cuales son los derechos y obligaciones de las nuevas partes que forman parte?
Inicialmente serán los mismos que tenían las partes que firmaron ese contrato, si bie hay que precisar que si ese contrato es posterior a 6/6/2013 y no está inscrito en el Registro de la Propiedad, el nuevo adquirente no está obligado a respetar ese contrato.
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Que si le he hecho un lío mejor diga la fecha del contrato

pero  vamos que si es un contrato posterior a 1994 y anterior a junio de 2013, y  de más de cinco años, entonces el propietario podría recuperarlo ... cada mes o cada año

Perdón, al decir anterior a junio de 2013, omití decir, y posterior a 1994

Depende de si el contrato es anterior a junio de 2013.
Si lo es, el nuevo propietario tiene que respetar cinco años de alquiler. Hasta 2018
Si el contrato es posterior, el nuevo propietario tiene derecho a recuperar el piso, a no ser que su contrato de arrendamiento, cosa rara, se hubiera firmado ante notario e inscrito en el registro de la propiedad.