Claro que tienes que pagar todo el mes. En teoría tienes que pagar todo el año (Si te fijas en el contrato verás que se fija un alquiler anual lo que sucede es que se paga en 12 veces)
Debes tener en cuenta que los contratos obligan a las dos partes.
Tu casero bajo ninguna fuerza mayor podría ponerte en la calle a mitad de la anualidad. Bajo ninguna.
Si tú te vas a mitad de la anualidad y el casero te demanda te puede salir bastante más caro que la fianza (algo así como pagar todos los meses hasta terminar la anualidad o hasta que otro inquilino viva en ese piso), y, además el inquilino que incumple el contrato suele ser condenado en costas ( 2000-3000 eur)
Por todo ello, es conveniente que hables con tu casero y le ofrezcas una indemnización por tu incumplimiento, que le disuada de demandarte.

Todo dependerá de lo que hayas pactado en contrato, lo habitual es avisar con 30 días de antelación y normalmente antes de la finalización del año de contrato, evidentemente todo dependerá de las razones que motivan tu marcha y la relación que tengas con tu casero. Creo que lo mejor sería exponerle de manera razonada que debes marcharte y ofrecerle alguna compensación como pagar el mes completo pues en Navidad es raro que alguien busque casa. Una vez pactado el tema haz la comunicación por escrito ( mejor burofax) mencionando el pacto al que habéis llegado, fecha de salida y forma de devolución de la fianza; ojo al dato el propietario te la puede retener por 30 días para comprobar que no hay desperfectos y estás al día en el pago de suministros.