Sí, si quieres cobrar y recuperar el piso. Aunque haya dejado en el piso su copia del contrato, puede tener una fotocopia. Mientras no firméis el fin de contrato, podría denunciarte si entras en la vivienda.
Busca un abogado y, como tú mismo dices, demándale la deuda y el incumplimiento de contrato.

Primero ir a un abogado. Demanda judicial falta de pago y desahucio. Puede hacer el depósito una sola vez en el juzgado y no prosperar la denuncia, pagando todo. A la segunda vez no le aceptan el depósito. Los servicios de luz, agua, si están a tu nombre los desdomicilias y le dices telefónicamente a la empresa que mande facturas al domicilio arrendado que pasarás a pagarlas. Tú no puedes cortarle la luz, la empresa por impago sí. Si en el contrato figura en cláusula que tiene que hacer el cambio de titularidad de los servicios (luz,agua,...) y no lo hizo, comunico por escrito a la empresa que dé de baja el suministro que figura a mi nombre.
Además, si marchó sin comunicar por burofax con acuse de recibo 30 dias antes de hacer el año o una de sus prórrogas, es incumplimiento de contrato.
El juez normalmente sentencia al pago de meses que faltan para la terminación de la anualidad o prórroga.

Además, al no firmar documento de contrato quedaron algunos desperfectos (se deducen de la fianza), averías, consumos pendientes,..... Es denuncia en el juzgado. Si entras en el piso, como tiene un contrato que no fue resuelto es allanamiento de morada. No uses las lllaves para entrar en el piso. Lo dicho. Consulta con abogado.