Hola, Puedes mirar la propiedad del piso en el registro de la propiedad de tu ciudad (en internet también www.registrodelapropiedad.org). La nota simple cuesta 9 euros, y es público, cualquiera puede solicitarlo. Eso, en caso de que la dueña tenga el piso registrado, porque aunque es lo normal, no es obligatorio.

El alquiler lo demuestras con un contrato privado firmado por las dos partes (un contrato normal). De todos modos, si no te inspira confianza la casera, la intuición es muy valiosa, busca otra vivienda, porque posiblemente tengas problemas con ella.
Saludos,

Sí, ese registro existe y es el Registro de la Propiedad.

Está organizado por zonas, y debe dirigirse al que corresponda a su zona.

Allí puede pedir una Nota Simple informativa sobre la propiedad que le interesa, y en ese documento aparece el titular o titulares de la propiedad, el estado de cargas, y otros derechos reales que estén constituidos sobre esa finca.

El coste es bajo, si no recuerdo mal sobre unos 5 euros. Y dependiendo del Registro, tarda unos 3/4 días hábiles.

El acreditar el alquiler lo puede hacer con el propio contrato, esté registrado o no.

Un saludo.