Si ya tienes en tu poder las llaves y no hay desperfectos,  devuelve la fianza y dejate de lios, eso si, que te firme que ha recibido la fianza y si tienes que descontar algún recibo lo descuentas de la fianza,aunque yo que tú ni eso, lo que te interesa es desacerte de él lo antes posible
Suerte has tenido que te haya devuelto las llaves

Carolina, al término de un contrato, lo mismo que al inicio, es más que recomendable la firma de un documento que recoja ese hecho y en su caso los desperfectos e incumplimientos del inquilino. Ya que no se ha hecho así, entiendo que debiera remitir un burofax al inquilino haciéndole saber que le descuenta de la fianza X euros en concepto de: A) indemnización por incumplir el preaviso de treinta días B) por daños y deterioros observados en la vivienda C) por cantidades pendientes de pago por suministros.
Si no hace nada y simplemente se "queda" con la finza tendrá problemas si el inquilino se la reclama judicialmente. Pedro Hernández Olmo, abogado

El inquilino ha avisado por mensaje que iba a abandonar la vivienda. Y el arrendador ha aceptado las llaves. Lo lógico es pedir la indemnización que corresponde según la LAU y no un mes arbitrariamente 

eso pensamos tú y yo, pero como demuestras que el inquilino a abandonado la vivienda si nisiquiera hay una notificación por escrito por parte del inquilino la voluntad de abandonar la casa si el casero entra en la vivienda y se entera el inquilino, si él quiere puede denunciarle por allanamiento me pongo en el peor de los casos

Eso no es correcto. Si se entregaron las llaves y no se firmó documento puede entenderse perfectamente el arriendo finalizado y la aceptación del inmueble en las condiciones recibidas 

aclarado http://www.enalquiler.com/comunidad-alquiler/dejar-piso-alquiler/hay-documento-finalizacion-l-contrato-entrega-llaves_17226.html
Sin ese documento, el arriendo continúa:  el casero no tiene la posesión
 del piso y no debe entrar en él y el inquilino debe seguir pagando la
renta.

lo que no sé es si perjudica al arrendador el no firmar el documento de fin de contrato por parte del inquilino y en caso de perjudicar como se demuestra que el inquilino ha abandonado la vivienda

segun la LAU
El arrendatario podrá desistir del contrato de arrendamiento, una
vez que hayan transcurrido al menos seis meses, siempre que se lo
comunique al arrendador con una antelación mínima de treinta días. Las
partes podrán pactar en el contrato que, para el caso de desistimiento,
deba el arrendatario indemnizar al arrendador con una cantidad
equivalente a una mensualidad de la renta en vigor por cada año del
contrato que reste por cumplir. Los períodos de tiempo inferiores al año
 darán lugar a la parte proporcional de la indemnización. Si no ha firmado el documento de fin de contrato se puede entenderse que el contrato sigue vigente, pero no creo que te merezca meterte en juicios si has recuperado la vivienda y no hay desperfectos