Si la calefacción no funciona, pide un presupuesto para arreglarla y según sea  el importe de la reparación, puede tener que asumirlo tal como te ha dicho Oscar, el arrendador o el arrendatario. Mientras lo de la calefacción no se arregla, para no pasar frío por la noche, hay que aplicar el sentido común tal como hacían nuestros antepasados más cercanos y que yo recuerdo a mis 73 años de edad por haberlo pasado en mi juventud, se abrigaban con lo que tenían a mano y en la cama ponían botellas llenas de agua caliente entre las sábanas, posteriormente ya eran bolsas de goma o esterillas eléctricas, las cuales siguen usándose. En cuanto a la temperatura ambiental existen en el mercado una gran cantidad de estufas a elegir, ya sean de butano, eléctricas, queroxeno, petróleo o leña, Espero haberte ayudado para que puedas dormir más calentito. Referente a lo que dices de " reclamar al arrendador los daños por el sufrimiento del frío durante la noche "  no lo reclames al arrendador, corres el riesgo de que se ría de tí. 

Hay que aplicar la ley, si es una reparación pequeña (hasta 150 ? 200 euros) o bien una rotura por negligencia, le pertenece al arrendatario hacerse cargo de la misma. Si es una sustitución por antigüedad o una gran reparación y no ha habido negligencia de los inquilinos, le corresponde al arrendador. A veces, es mejor negociar que litigar, así que lo mejor es llegar a un acuerdo