Usar la fianza como pago a una mensualidad pendiente cuando el contrato está por terminar, aparte de que no es esa su función,  siempre significaría un perjuicio para el arrendador, ya que el organismo donde la fianza está depositada tarda alrededor de un mes en devolvérsela al casero (al menos en el IVIMA tardan un mes o así). Y en la práctica sería como cobrar la renta del alquiler con dos meses de retraso (si el contrato se resuelve por ej. el 30 de diciembre y se usa la fianza para pagar la renta de Diciembre el casero va a cobrar esa mensualidad el 30 de enero como muy pronto)
Y eso en el caso de que la última renta del contrato no esté actualizada, pues si ha habido subidas anuales según el IPC el importe de la última renta siempre va a ser mayor que la fianza.

Si en su contrato no tiene ninguna cláusula que le permita desistir en cualquier momento deberá esperar a la próxima anualidad, pues su contrato se ha prorrogado por un año más al no haber avisado con 30 dias de antelación a la finalización del mismo.

La fianza no puede servir para pagar una mensualidad, corren el riesgo de ser demandados por impago, pues se usa para desperfectos y facturas que llegan a posteriori, como el agua, luz, etc... Además, su arrendador tiene 30 días para devolverla, y se supone que esa fianza debe estar ingresada en el organismo competente de la comunidad autónoma, con lo que harían un perjuicio a su arrendador, dando pie a la reclamación por daños.

Si en su contrato hay alguna cláusula de desistimiento anticipado, deberá informar en el tiempo y forma indicado en dicha cláusula.

O llegan a un acuerdo con su arrendador o les pueden pedir que paguen el resto de las mensualidades, incluso llegando a la via judicial, donde les tocará pagar las costas del juicio tb ( unos 3mil - 5mil euros)

Por lo general y a no ser que en el contrato se especifique otra cosa distinta el inquilino tiene la potestad de no renovar el contrato anual comunicando al casero su intención de no renovarlo 30 días antes de que la anualidad en curso (del contrato inicial o de sus 4 prórrogas) finalice.
Si este es su caso usted debería haber comunicado al casero su no intención de renovar el contrato por otro año más como muy tarde el 30 del pasado octubre para irse el 30 de noviembre. Al no haberlo hecho el contrato se renueva automáticamente por otra anualidad, o sea hasta el 30 de noviembre del 2012.
Si este es el caso y en el contrato no se especifica otra cosa distinta, si usted se va a finales de Diciembre tendría que indemnizar a su casero por incumplimiento de contrato (su casero podría reclamarle los meses que restan de contrato hasta noviembre del 2012 o los meses que tarde en alquilar de nuevo al mismo precio, sin perjuicio de otras pérdidas que el incumplimiento le ocasionase.)
Revise su contrato para ver si es esto lo que se especifica o si dice otra cosa distinta.
En cuanto a lo de la fianza, su objeto no es el pago de las rentas que queden por venir sino una garantía de la que el casero puede restar importes no pagados del inquilino (suministros a cargo del inquilino, desperfectos en el inmueble atribuibles al inquilino, etc.) una vez firmada la resolución del contrato.