Si no lo he entendido mal, tus padres viven contigo en tu casa y una persona viene  a cuidar de ellos, si es así, no lo puedes hacer, ya que quién se quedaría en la calle serian tus padres y tu.

Si a lo que te refieres es a alquilarle otra casa tuya y que el arrendatario venga a la tuya para atender a tus padres, si puedes, pero no te lo aconsejo, ya que si hay problemas con el cuidador y quieres prescindir de sus servicios, todo y consiguiéndolo, no podrás rescindir el contrato de arrendamiento durante los tres primeros años del mismo y dudo que te pueda pagar si ya no trabaja en tu casa.

La solución podría se que le hagas un contrato al cuidador como servidor doméstico y que en función de dicha actividad tenga una habitación en tu casa o bien otra vivienda tuya, con lo cual, cumplirias con las disposiciones legales de contratación y evitarias estar sujeta a las obligaciones como arrendadora que fija la LAU, ya que la vivienda la tendria el cuidador en función del trabajo que realiza como empleado doméstico, con lo cual al rescindirse el contrato laboral, el empleado pierde la vivienda.