Como te ha dicho PHOLMO, se tiene que esperar al vencimiento.

Los contratos se suelen hacer por un año, prorrogable en periodos anuales hasta los cinco años. El inquilino puede rescindir el contrato en los vencimientos (o "cumpleaños" del contrato) . Es decir, si pasa el primer año y él no ha avisado con el preaviso señalado en el contrato, el contrato se renueva por un año más. El inquilino no se podría ir hasta que llegue el siguiente vencimiento (o "cumpleaños" del contrato).

Te he hablado de un año, porque es lo más habitual, pero si es por otro plazo, pues lo que hayais acordado.

Si el inquilino se va a mediados, tu como casera le podrías reclamar que pagase las mensualidades que quedan hasta que llegue el vencimiento o hasta que se encuentre otro inquilino (en ese caso tu no perderías dinero, por lo tanto tampoco se lo podrías reclamar).

La fianza está para reparar daños o para pagar cosas que el inquilino no ha pagado.

Es decir, si tienes que hacer arreglos se lo puedes descontar de la fianza, pero unicamente si tienes facturas que lo demuestran.

Sólo añadir una cosita mas:

Ten cuidado, porque él te tiene que firmar un papel de que se va. Si no te lo firma, tu no podrías entrar en la casa (él dentro de unos meses te puede decir que estaba de vacaciones y que te denuncia por allanamiento de morada).

Así que ten mano izquierda y que te firme la rescisión del contrato. Si consigues que te firme los desperfectos que te ha dejado en el piso, mejor, porque así se los podrás reclamar sin ningún problema. Pero lo mas importante, para estar tú completamente tranquila, es que te firme el papel de que se va.

Marcharse del piso antes del año es incumplir el contrato. Los contratos se firman para ser cumplidos por ambas partes, y otorgan derechos y obligaciones a ambas partes.
El inquilino tiene derecho a estar hasta 5 años (a veces 8) , y la obligación de cumplir el tiempo pactado en el contrato , y el casero también tiene la obligación de tener a ese inquilino ese tiempo y el derecho a cobrar la renta.
Si el inquilino se marcha antes de tiempo y el casero le demanda, lo habitual, lo que la jurisprudencia ha dictado en ocasiones similares, (cuando las partes han acabado en los Tribunales) es que el inquilino deba pagar hasta que el piso se vuelva a arrendar. Es decir, otro inquilino, le libera del pago. Además, y esto sería lo más caro, el inquilino que incumplió el contrato suele ser condenado en costas (abogados y procuradores de ambas partes)
Por todo esto, no es infrecuente que el inquilino ofrezca al casero una indemnización (a pactar si no se estipuló nada en el contrato) a cambio de firmar una resolución bilateral de contrato, y evitar un pleito desagradable, largo y caro.
Le saldrá más barato negociar con el casero y pagarle 2 ó 3 mensualidades a modo de indemnización que un pleito con sus costas.
No te sientas mal que tú no eres quien ha incumplido el contrato. A algunos inquilinos se les olvida que los contratos también les obligan a ellos.
Respecto a que no te quiere firmar el fin de contrato.
Efectivamente, sin ese papel firmado tú no recuperas la posesión del piso, pero él tiene obligación de pagar las rentas. Sin ese "papel" el arrendamiento continúa, y podrás demandarle por impago de rentras.
Si se niega a firmarlo, no debes entrar en el piso, pero sí demandarle.
Saludos
http://sites.google.com/site/papeleosalquiler/

En mis post http://pedrohernandezabogado.blogspot.com/2009/04/mas-sobre-desistimiento-anticipado.html y
http://pedrohernandezabogado.blogspot.com/2008/12/desistimiento-del-inquilino.html considero que tienes cumplida respuesta a tus preguntas, no obstante me pongo profesionalmente a tu disposición para cualquier asesoramiento complementario.

Si no le firma la renuncia y la entrega de llaves, usted no podrá disponer del piso ni volverlo a alquilar.

Explíquele que si no firma la renuncia y se marcha, le demandará por impago y será condenado a abonar todas las rentas hasta la puesta a su disposición del piso y las costas judiciales.

Explíquele también que la no devolución de la fianza es en concepto de indemnización, y a cambio de no demandarle por incumplimiento de contrato. Si le demandara por este motivo sería condenado a pagar la parte proporcional de la rentas hasta agotar el contrato o hasta la entrada de nuevo inquilino, además de las costas judiciales. Hágale ver que cualquiera de estas opciones le saldrán muchísimo más caras que los dos meses de fianza.