Hola Amparo, referente a lo que mencionas de alquilar solamente al solvente, también puede dar problemas ya que igual el que se quiere ir es el solvente, dejando a los demás en el piso, lo cual no puede hacer. A ese tipo de arrendatarios/as no les suele unir ningún tipo de lazo, salvo el de tener una vivienda entre varios  que les resulte más económica  que vivir en una solamente para ellos, les pasa como a algunas parejas que sin conocerse lo suficiente, deciden por amor iniciar una vida conjunta en un piso y al cabo de un tiempo se dan cuenta que el amor se va, pero que la otra parte se queda y, a partir de ahí empiezan los problemas de convivencia y los del arrendamiento de la vivienda.

El inquilino que se quiere desvincular del contrato pese a que se vaya del piso, no puede desvincularse sin el consentimiento por escrito del otro inquilino y del tuyo, por lo que pese a vivir fuera, seguirá siendo responsable solidario del total cumplimiento del contrato.El inquilino que se queda, mientras te pague el 100% de la renta y cumpla lo estipulado en el contrato, podrá seguir en la vivienda.  

Estos inquilinos no deben tener claro que al ser un contrato SOLIDARIO, deben llegar a un acuerdo entre ellos y  comunicarte su decisión UNÁNIME.
Otra cosa es que tú no sepas nada y sigas recibiendo la totalidad de la renta.
Como estas cosas proliferan cada vez más, yo estoy pensando, para el futuro, hacer un contrato al más solvente y permitirle que conviva con el otro...  Quieren alquilar un piso completo - que es más barato - y luego pretenden comportarse como en un alquiler por habitaciones... 
No sé qué pensáis

El caso es que el inquilino que se quedaba en el piso, me avisó de de que quería abandonarlo, por lo que extraoficialmente fijamos una fecha de salida. Ahora que la fecha se acerca y no ha encontrado otra cosa me dice que no sabe si irse y como no me firmó una notificación oficial, sino que me lo notificó mediante wassap, no sé si puedo obligarle a dejar el piso o el tiene derecho a quedarse hasta que me lo notifique de una manera más oficial. Por otro lado, como el otro inquilino quiere desvincularse del contrato, ¿podría yo pedir la terminación del mismo por este cambio a pesar de que el inquilino que sigue en el piso pague el 100% de la renta?

Matizando la respuesta de Nube, si se queda en la vivienda uno de los inquilinos, mientras paga el 100% de la renta convenida, no podrás pedir la finalización del contrato.

Puedes negarte a modificar las condiciones, y que por tanto o bien sigan los dos, o bien desistan del contrato.